西大和学園中学校２０２６年算数第３問（４）
- 数の性質 偶奇性 平方剰余
-
２０２６は１×１＋４５×４５のように、同じ整数を２回かけあわせた２つの数を足しあわせた数です。３７７は小さい順にならべた４つの整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを用いて３７７＝Ａ×Ａ＋Ｄ×Ｄ＝Ｂ×Ｂ＋Ｃ×Ｃと表すことができます。
このような整数の組（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）は１組だけです。（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）を求めなさい。
２０×２０＝４００＞３７７＞３６１＝１９×１９だから、１から１９までの平方数（覚えているはずですね）をすべて書き出しても大した手間ではありません。
３７７－３６１が１６だから、いきなり一組見つけられますしね。
ここでは少しだけ頭を使って解きます。
３７７は奇数だから、ＡとＤの一方は奇数となり、他方は偶数となり、ＢとＣについても同様です。
偶数の平方数の一の位の数は、０×０＝０、２×２＝４、４×４→６、６×６→６、８×８→４より、０、４、６のいずれかで、奇数の平方数の一の位の数は、１×１＝１、３×３＝９、５×５→５、７×７→９、９×９→１より、１、５、９のいずれかです。 前者の一の位の数と後者の一の位の数の和が７となるのは、６と１の組合せだけですね。
結局、一方は一の位の数が４か６の数となり、他方は一の位の数が１か９となります。
４×４＝１６、６×６＝３６、１４×１４＝１９６、１６×１６＝２５６
１×１＝１、９×９＝８１、１１×１１＝１２１、１９×１９＝３６１
だから、Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄを考慮すると、（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（４，１１，１６，１９）となります。
なお、一般に、平方数を３で割った余りは０（３の倍数を２回かけあわせた場合）か１（３で割り切れない数を２回かけあわせた場合）となります。 ←面積図を利用すればすぐに確認できます。
このことを利用すると、３７７は３で割ると２余る数だから、Ａ、Ｄ、Ｂ、Ｃはすべて３で割り切れない数となり、６×６と９×９を考える必要がないことがすぐにわかります。
