灘中学校２０２６年算数１日目第５問
- 数の性質 倍数
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３桁（けた）の整数Ｘについて、次の（条件１）、（条件２）を考えます。
（条件１）Ｘは、どの位にも０が使われず、２でも３でも５でも割り切れない。さらに、Ｘの３つの位の数字をどのように並べ替（か）えても、並べ替えた後の３桁の整数は２でも３でも５でも割り切れない。
（条件２）Ｘの３つの位の数字を並べ替えて、Ｘと異なる３桁の整数Ｙを作り、ＸとＹの差が６０で割り切れるようにすることができる。
（条件１）が成り立つようなＸは全部で[① ]個あります。また、（条件１）と（条件２）の両方が成り立つようなＸは全部で[② ]個あります。
まず、条件１について考えます。
０、２、４、６、８、５が使えないから、使える数字は１、３、７、９だけとなります。
使える数字が１、３、７、９の場合、２でも５でも割り切れないという条件は自動的に満たされるので、以下では考慮する必要はありませんね。
３桁の整数Ｘは、○□△（○、△、□は１、３、７、９のいずれかの整数、ただし、○＋□＋△は３で割り切れない数）とおくことができます。
○と□と△の組合せは以下のようになります。
１－１－３、９
１－３－３、７、９
１－７－９
１－９－９
３－３－７
３－７－７、９
７－７－９
７－９－９
（あ）１つの数字だけが異なるものについては並べ替え方が３通りあり、（い）３つの数字が異なるものについては並べ替え方が３×２×１＝６通りあるから、条件１が成り立つようなＸは全部で３×８＋６×４＝４８個あります。
次に、条件２について考えます。
ＸとＹの一の位が異なると、その差が１０の倍数となることはありえないから、ＸとＹの一の位は同じ数となります。
また、ＸとＹは異なるから、ＹはＸの百の位の数と十の位の数を入れ替えた数となります。
Ｘ＝○×１００＋□×１０＋△×１とＹ＝□×１００＋○×１０＋△×１（○と□は異なる整数）の差は（○と□の差）×９０＝（○と□の差）×３×３０＝となり、これが６０で割り切れるためには、○と□の差が２で割り切れることが必要となりますが、奇数２つの差は常に２で割り切れるので、○と□が異なる２整数である限り条件を満たすことになります。
（あ）の場合、Ｘは２通りあり、（い）の場合、Ｘは６通りあります。
したがって、２つの条件を満たすＸは全部で２×８＋６×４＝４０個あります。 ←（１）で求めた４８個から、○＝□のもの（○○△）８個を引いてもよいでしょう。
