灘中学校２０１２年算数１日目第６問
- 規則性 等比数列 和と差の積＝２乗の差
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１０枚のカードが横一列に並んでいます。カードには１枚につき１つの数が書かれていて、次の規則(ア)、(イ)をみたしています。
(ア)左端（はし）のカードには１が、左から２枚目のカードには３が書かれています。 (イ)左から３枚目以降のカードには、そのカードより左にあるカードに書かれているすべての数の積に２を加えた数が書かれています。
たとえば、左から３枚目のカードには、１×３＋２＝５なので、５が書かれています。左から４枚目のカードには、１×３×５＋２＝１７なので、１７が書かれています。
このとき、右端のカードに書かれている数から１を引いた数は、２で[ ]回まで割り切ることができます。
それぞれのカードに書かれた数の２で割り切れる回数を１枚目から調べていきます。
１枚目（カードに書かれた数は１で、１を引いた数は０）・・・２で０回割り切れます。
２枚目（カードに書かれた数は３で、１を引いた数は２）・・・２で１回割り切れます。
３枚目（カードに書かれた数は５で、１を引いた数は４）・・・２で２回割り切れます。
４枚目（カードに書かれた数は１７で、１を引いた数は１６）・・・２で４回割り切れます。
５枚目（カードに書かれた数は１×３×５×１７＋２＝１７×１５＋２＝（１６＋１）×（１６－１）＋２＝１６×１６－１×１＋２＝１６×１６＋１で、１を引いた数は１６×１６）・・・２で４×２＝８回割り切れます。 ←和と差の積が２乗の差となること（関西学院中学部１９９６年２日目第１問（４）の解答・解説を参照）を利用しました。この問題だけを解くのであれば、ここまでする必要はありませんし、６枚目について調べる必要もないですが、灘中志望者であればこのぐらいのことを日常の学習において考えるべきでしょう。
６枚目（カードに書かれた数は１×３×５×１７×（１６×１６＋１）＋２＝１７×１５×（１６×１６＋１）＝（１６×１６－１）×（１６×１６＋１）＋２＝１６×１６×１６×１６－１×１＋２＝１６×１６×１６×１６＋１で、１を引いた数は１６×１６×１６×１６）・・・２で（４×２）×２＝１６回割り切れます。
結局、□枚目（ただし、□は２以上）のカードに書かれた数は、２で２の（□－２）乗（２を（□－２）個かけあわせた数）回割り切れることが読み取れますね。
したがって、１０枚目のカードに書かれた数は、２の８乗、つまり２５６回２で割り切れることになります。
