名古屋中学校２０２５年算数第１問（４）
- 速さ 旅人算 円周上の点の移動
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下の図のように、大小２つの円があります。大きい円は、点Ｏを中心として点Ａを通ります。小さい円は、ＡとＯを結ぶ線が直径となっています。
２点Ｐ、Ｑが点Ａを同時に出発して、それぞれ円周上を一定の速さで反時計回りに動きます。Ｐは大きい円周上を６３秒かけて１周します。Ｑは小さい円周上を２８秒かけて１周します。
①Ｑが小さい円周上をちょうど２周したとき、３点Ａ、Ｏ、Ｐを頂点とする三角形の、頂点Ｏにあたる角度は何度ですか。
②３点Ａ、Ｐ、Ｑが初めて一直線上に並ぶのは、点Ａを出発してから何秒後ですか。ただし、３点Ａ、Ｐ、Ｑがすべて異なるところにある場合のみを考えることにします。
①
Ｑが小さい円周上をちょうど２周したとき、つまり２８×２＝５６秒経ったとき、Ｐは大きい円周上を
５６/６３ ←速さ一定⇒距離の比＝時間の比
＝８/９周
している（１周まであと１/９周のところに来ている）から、求める角度は
３６０×１/９
＝４０度
となります。
②
２点Ｐ、Ｑと同時に出発して大きい円周上を２８秒かけて１周する点Ｒを考えます。
３点Ａ、Ｑ、Ｒは常に一直線上にあります。
３点Ａ、Ｐ、Ｑが初めて一直線上に並ぶのは、出発後初めてＲが点Ｐと同じ地点に来るときとなります。 ←シャドーとか影武者とか呼ばれる考え方です。
大きい円周を[７×９×４]とすると、２点Ｐ、Ｒの速さはそれぞれ毎秒[７×９×４]/６３＝[４]、[７×９×４]/２８＝[９]となります。
したがって、３点Ａ、Ｐ、Ｑが初めて一直線上に並ぶのは、点Ａを出発してから
[７×９×４]/（[９]－[４]） ←旅人算の追いつきですね。
＝２５２/５秒後
となります。
（別解）
ＱがＰより速いから、Ｑの１周目に条件を満たすことはありませんね。
また、①の答えから、Ｑが２周し終わるまでに条件を満たすことが容易に読み取れますね。
Ｑが２周目に入った後で条件を満たす図を適当にかくと下のようになります。
時間の比 Ｐ：Ｑ＝６３：２８＝９：４
↓逆比←「距離」一定（３６０度（角速度で考えます））
速さの比 Ｐ：Ｑ＝４：９
↓時間一定（出発してから条件を満たすまでの時間）
「距離」の比 Ｐ：Ｑ＝４：９＝④：⑨
⑨－④＝⑤が３６０度（１周ですね）に相当するから、Ｐは④/⑤＝４/５周したことになります。
したがって、３点Ａ、Ｐ、Ｑが初めて一直線上に並ぶのは、点Ａを出発してから
６３×４/５ ←速さ一定⇒時間の比＝距離の比
＝２５２/５秒後
となります。
