洛星中学校２０２５年前期算数第３問（２）
- 平面図形 面積比 相似 等積変形
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図のような直角三角形ＡＢＣがあり、三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積は等しくなっています。
（ア）三角形ＡＢＣの底辺をＢＣとしたときの高さを求めなさい。
（イ）ＡＰの長さが１cmのとき、ＣＱの長さを求めなさい。
（ウ）ＡＣとＰＱが平行であるとき、三角形ＢＰＱの面積を求めなさい。
（ア）
三角形ＡＢＣの底辺をＡＣ（６cm）としたときの高さはＡＢ（８cm）だから、三角形ＡＢＣの底辺をＢＣ（１０cm）としたときの高さは、８×６/１０＝４．８cmとなります。 ←積一定（反比例）を利用しました。
もちろん、三角形ＡＢＣの面積の逆算を利用して解いてもよいでしょう。
（イ）
三角形ＡＰＣの面積が三角形ＡＢＣの面積の１/８だから、三角形ＡＢＱの面積も三角形ＡＢＣの面積の１/８となります。
三角形ＡＢＱと三角形ＡＢＣは高さが等しいから、ＢＱの長さはＢＣの長さの１/８となります。 ←三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の長さの比
したがって、ＣＱの長さは１０×７/８＝３５/４cmとなります。
（ウ）
ＡＣとＰＱが平行であるとき、三角形ＡＰＣと三角形ＡＱＣは底辺と高さが等しいから面積も等しくなります（等積変形）。
三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積が等しいことから、三角形ＡＢＱの面積と三角形ＡＱＣの面積が等しくなり、この２つの三角形の高さは等しいから、底辺ＢＱとＱＣは等しくなります。 ←三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の長さの比
三角形ＢＰＱと三角形ＢＡＣのピラミッド相似（相似比はＢＱ：ＢＣ＝１：２で、面積比は（１×１）：（２×２）＝１：４））に着目すると、三角形ＢＰＱの面積は
６×８×１/２×１/４
＝６cm2
となります。
