帝塚山学院中学校２０１９年１次Ａ算数第７問
- 場合の数 組合せ 重複組合せ
-
ある整数アのすべての位の数の和を【ア】で表すことにします。
例えば、次のようになります。
【３】＝３
【１０】＝１＋０＝１
【５９７】＝５＋９＋７＝２１
①【２０１９】はいくつになりますか。
②【ア】＝９になる１０００より小さい整数アは何個ありますか。
灘中で同じような問題が出されています（灘中学校２０２１年算数１日目第３問）。
①
２＋０＋１＋９＝１２が答えとなります。
②
３桁以下の整数で各位の数の和が９となるものの個数を求めなさいということですね。
デジタル表示（例えば、２７は０２７、９は００９）で考えます。
合計９個の１（〇）を百の位と十の位と一の位に配置すると考えます。 ←例えば、〇〇〇〇〇//〇〇〇〇であれば、５０４となり、//〇〇〇〇〇〇〇〇〇であれば、９（００９）となります。
〇９個と仕切り２個の配置の仕方を考えればよいから、各位の数の和が９である３桁以下の整数は、全部で
（１１×１０）/（２×１） ←組合せですね。
＝５５個
あります。
帝塚山学院中学校の受験生の場合、上の解法をマスターしていないことが多いでしょうね。
すると、地道な解法で解くことになり、和が９になる整数３個（デジタル表示を利用）の組合せをまず選び出し、次に並べ替えを考えて桁数え上げることになりますが、ちょっと面倒ですね。
和が９になる整数３個（デジタル表示を利用）の組合せは００９、０１８、０２７、０３６、０４５、１１７、１２６、１３５、１４４、２２５、２３４、３３３となります。
３個の数字がすべて異なる場合、並べ方は３×２×１＝６通りあり、２個の数字が同じ場合、並べ方は３通りあり、３個の数字が同じ場合、並べ方は１通りあるから、整数アは全部で３×４＋６×７＋１＝５５個あります。
