大阪星光学院中学校２０２５年算数第１問（４）
- 空間図形 回転体 体積
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右の図は１辺の長さが６cmの正方形です。斜線（しゃせん）部分をある直線を軸として１回転させてできる立体について、ＡＤを軸としたときの立体の体積は[ ]cm3であり、また、ＡＢを軸としたときの立体とＢＣを軸としたときの立体とＡＤを軸としたときの立体の体積の和は[ ]cm3です。
（斜線部分というのは、かげをつけた部分になります。）
回転軸が動いていますが、回転軸を固定して、それぞれの部分を回転させたときの体積比を考えます。
下の回転軸ℓで考えます。
黄色の部分をℓの周りに回転した立体の体積を単に黄色と表記します（他の部分も同様）。
黄色を①とすると、黄緑色も①となります。
黄色＋黄緑色＋紫色は、①×２×２×２＝⑧となるから、紫色は⑥となります。 ←相似比が１：２の円錐の体積比は（１×１×１）：（２×２×２）となりますね。
同様に、水色も⑥となります。
全体は⑧×３だから、ピンク色は⑩となります。 ←底面積と高さが同じ円錐と円柱の体積は１：３ですね。
⑧×３が６×６×３．１４×６cm3に相当するから、ＡＤを軸としたときの立体の体積（②）は
６×６×３．１４×６×②/（⑧×３）
＝１８×３．１４
＝３１．４
＋２５．１２
５６．５２cm3
となります。
また、ＡＢを軸としたときの立体とＢＣを軸としたときの立体とＡＤを軸としたときの立体の体積の和（⑥＋⑩＋②＝⑱）は、先ほど求めた答えの９倍となるから、
５６５．２－５６．５２ ←「ひきすぎ⇒たす」
＝５６５．２－５７＋０．４８ ←「ひきすぎ⇒たす」 実際には、この式をすぐに作ることができ、暗算で答えが求められます。
＝５０８．６８cm3
となります。
