西大和学園中学校2025年東京・東海会場算数第1問(2)
- 平面図形 角度
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図の太線はそれぞれ正八角形、正五角形、正三角形の辺を表します。図の角(あ)の大きさは[あ]°です。また、図の頂点Pと頂点Qを結んでできる角(い)の大きさは[い]°です。
(前半の問題について)
正八角形の辺のうち図の2つの平行な辺(赤線と青線)に着目します。
赤線を反時計回りに360/8×1/2=45/2度(図の×印)回転した後、時計回りに60度(図の〇印)回転した直線、つまり時計回りに60-45/2=75/2度回転した直線と図の青線を上にスライド移動(平行移動)した直線を反時計回りに360/5×1/2=36度回転した直線が作る角度を求めればよいから、角(あ)の大きさは
75/2+36
=147/2度
となります。
(後半の問題について)
この問題において、正五角形は全く関係ありません。
そこで、正五角形を無視して考えます。
点線以外が線対称図形になることと正八角形の頂点を1つおきに結ぶと正方形になることを利用します。
すると、正方形と正三角形を組み合わせた有名図形の応用に過ぎないことがすぐにわかりますね。
図のかげをつかた二等辺三角形に着目すると、(い)の角の大きさは
[90-{180-(90-60)}/2]+45/2
=75/2度
となります。