西大和学園中学校２０２５年東京・東海会場算数第１問（１）
- 場合の数 順列 組合せ
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０、１、２、・・・９の計１０枚のカードがあります。１０枚のカードから１枚を選んで、カードに書かれた数を書き留めてから、元に戻すことを６回繰り返します。書き留めた数をすべてかけあわせてできる数が２０２５になるようなカードの引き方を考えます。例えば、
３→３→３→３→５→５
のように、３、５のちょうど２種類のカードだけを引く場合、引き方は（あ）通りあります。また、１、５、９のちょうど３種類のカードだけを引く場合、引き方は（い）通りあります。他の場合も合わせて、カードの引き方は全部で（う）通りあります。
２０２５を素因数分解すると３×３×３×３×５×５となります。 ←２０２５年の受験生なら当然覚えているはずですが、問題文の例のところで出題者が書いてしまっていますね。
使うことができるカードは１、３、５、９だけで、５は必ず２回使うことになりますね。
残りの６－２＝４回については、次の３つの場合が考えられます。 ←３を奇数回選べないことに注意しましょう。３を選ぶ回数と９を選ぶ回数が連動しているからです。
（Ａ）３を４回選ぶ場合
（Ｂ）３を２回選ぶ場合（９を１回、１を１回選ぶことになります）
（Ｃ）３を０回選ぶ場合（９を２回、１を２回選ぶことになります）
（Ａ）の場合
６回中どの２回に５を選ぶか考えればよく、（６×５）/（２×１）＝１５通りあります。
これが（あ）の答えですね。
（Ｂ）の場合
６回中どの１回に９を選ぶかで６通りあり、そのそれぞれに対して、残りの５回中どの１回に１を選ぶかで５通りあり、そのそれぞれに対して、残りの４回中どの２回に３を選ぶかで（４×３）/（２×１）＝６通りあり、残りは自動的に確定するから、この場合は６×５×６＝１８０通りあります。
（Ｃ）の場合
６回中どの２回に５を選ぶかで（６×５）/（２×１）＝１５通りあり、そのそれぞれに対して、残りの４回中どの２回に９を選ぶかで（４×３）/（２×１）＝６通りあり、残りは自動的に確定するから、この場合は６×５×６＝９０通りあります。
これが（い）の答えですね。
したがって、カードの引き方は全部で１５＋１８０＋９０＝２８５通りあります。
これが（う）の答えですね。
