東大寺学園中学校２０２１年算数第１問（１）
- 計算問題 計算の工夫
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次の□にあてはまる数を答えなさい。
（２１×２１－１９×１９）÷（１＋４/（４３×４７））－２０÷（１＋□/（４１×４９））＝２１×２１－（２０×２０×２０＋１）/２１
どのかけ算も暗算で答えが出せるので計算してしまいます。
２１×２１＝２０×２０＋２０＋２１＝４４１ ←連続する平方数の差の知識を利用して計算しました（面積図をイメージすればすぐにわかります）。
１９×１９＝３６１ ←覚えていなければ、２０×２０－（２０＋１９）
４３×４７＝２０２１ ←下の（参考）を参照
４１×４９＝２００９ ←下の（参考）を参照
（２０×２０×２０＋１）/２１＝８００１/２１＝３８１ ←８００１は、各位の和が９だから３で割り切れます。また、８００１＝８００８－７で、１００１＝７×１１×１３だから、８００１は７で割り切れます。結局、８００１が２１で割り切れることが瞬時に判断できます。
なお、和と差の積＝２乗の差を利用して、２１×２１－１９×１９＝（２１＋１９）×（２１－１９）＝４０×２＝８０とすぐにすることができますが、右辺の２１×２１を計算することを考慮し、今回はかけ算をそのまま計算しました。
８０×２０２１/２０２５－２０÷（１＋□/２００９）＝６０
４×２０２１/２０２５－１÷（１＋□/２００９）＝３ ←両辺を２０で割りました。
結局、（１＋□/２００９）の逆数（１÷（１＋□/２００９））が
４×２０２１/２０２５－３
＝（８０８４－６０７５）/２０２５
＝２００９/２０２５
となり、（１＋□/２００９）が２００９/２０２５の逆数、つまり２０２５/２０１９＝１＋１６/２０１９となるから、□＝１６となります。
（参考）〇△×〇□（△＋□＝１０）の計算について
〇×（〇＋１）を百の位に配置し、△×□を下２桁に配置します（このようになることは面積図をかけばわかります）。
例えば、４５×４５であれば、４×（４＋１）＝２０を百の位に、５×５＝２５を下２桁に配置すればよく、２０２５となります。また、４３×４７であれば、４×（４＋１）＝２０を百の位に、３×７＝２１を下２桁に配置すればよく、２０２１となります。
