灘中学校２０２２年算数１日目第４問
- 数の性質 余り,周期性
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２を１０個かけてできる数２×２×２×２×２×２×２×２×２×２を１７で割った余りは[① ]です。また、２を２０２２個かけてできる数２×……×２を１７で割った余りは[② ]です。
一般に、〇で割ったときの余りが△の数と□の数の積を〇で割ったときの余りは△×□を〇で割ったときの余りと一致します（このことは面積図をかけばすぐにわかることです）が、これを利用すれば簡単に解けます。
中学生で習う負の数の計算ができるのであれば、２を４個かけた数（１６）を１７で割ったときの余りを－１と考えると、２を８個かけた数を１７で割ったときの余りは（－１）×（－１）＝１を１７で割ったときの余り、つまり１となるから、２を１０個かけた数を１７で割ったときの余りは１×４＝４を１７で割ったときの余り、つまり４となり、これが①の答えとなります。
また、２０２２÷８＝２５２・・・６だから、２を２０２２個かけた数を１７で割ったときの余りは１×１×・・・×１×（－１）×４＝－４を１７で割ったときの余り、つまり１３となり、これが②の答えとなります。
灘中受験生の場合、負の数の計算をできる子が結構いるので、上のようにするのが一番はやいでしょう。
負の数の計算ができなければ、次のようにすればよいでしょう。
２を１個ずつかけていき、１７で割ったときの余りがどうなるかをチェックしていきます。
その際、冒頭で述べた知識を利用するのはこの解法でも同じです。
２
２×２＝４
２×２×２＝８
２×２×２×２＝１６
２×２×２×２×２＝３２→１５ ←ここからの計算が上の解法に比べると若干面倒になります。
２×２×２×２×２×２→１５×２＝３０→１３
２×２×２×２×２×２×２→１３×２＝２６→９
２×２×２×２×２×２×２×２→９×２＝１８→１
２×２×２×２×２×２×２×２×２→１×２＝２ ←ここからは計算する必要はありませんが、１０個なのでそのまま計算して答えを出します。
２×２×２×２×２×２×２×２×２×２→２×２＝４
①の答えは４となります。
上で書き出したものからわかるように、２を１個ずつかけていった数を１７で割ったときの余りは８個ごとに同じ繰り返しとなります。
２０２２÷８＝２５２・・・６だから、２を２０２２個かけてできる数を１７で割ったときの余りは、２を６個かけてできる数を１７で割ったときの余りと一致し、１３となり、これが②の答えとなります。
