東大寺学園中学校２０１８年算数第１問（２）
- 平面図形 正六角形 面積比
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右図の正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、ＡＦ上に点Ｇをとりました。三角形ＢＣＧの面積と三角形ＤＥＧの面積の比が１２：１３であるとき、ＡＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で答えなさい。
解くのに３０秒もかからない問題です。
正六角形の面積の有名知識（神戸女学院中学部２００７年算数第５問の解答・解説を参照）を利用します。
三角形ＡＢＧと三角形ＥＦＧの面積の合計は、三角形ＡＢＦの面積と等しく（等積変形）、正六角形の面積の１/６となります。
また、三角形ＧＣＤの面積は正六角形の面積の１/３となります。
このことから、問題文の図のかげをつけた部分の面積の合計は正六角形の面積の１－１/６－１/３＝１/２となります。
与えられた条件から、三角形ＢＣＧの面積は、正六角形の面積の
１/２×１２/（１２＋１３）
＝１/６×３６/２５（倍）
となり、これは三角形ＯＢＣの面積×（２５＋１１）/２５となります。 ←Ｏは正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心です。三角形ＯＢＣの面積（正六角形の面積の１/６）と三角形ＢＣＧの面積を、底辺をＢＣとして比べています（詳細は省略します。上の女学院の問題の解説ページでも同様の解法を利用しています）。
したがって、ＡＧ：ＧＦ＝１１：（２５－１１）＝１１：１４となります。
