名古屋中学校2023年算数第2問(4)
- 場合の数 重複組合せ
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区別のない6冊のノートを3人で分けるとき、分け方は何通りあるか答えなさい。ただし、少なくとも1人1冊はもらえるものとします。
まず、3人に1冊ずつノートを配ります。
残り3冊のノートの配り方を考えればいいですね。
3冊のノートの組合せは次のようになります。 ←まず選び出し、次に並べると考えます。
3冊、0冊、0冊・・・3冊の人が誰になるかで3通りあります。
2冊、1冊、0冊・・・2冊の人が誰になるかで3通りあり、そのそれぞれに対して、1冊の人が誰になるかで2通りあり、残りの人が0冊に確定するから、全部で3×2(×1)=6通りあります。
1冊、1冊、1冊・・・1通りあります。
したがって、分け方は全部で3+6+1=10通りあります。
なお、合計3個の〇を3人(説明の便宜上A、B、Cとします)に配置すると考えます。
その際、〇3個と/2個を配置し、左側の/の左側がAの取り分で、左側の/と右側の/の間がBの取り分で、右側の/の右側がCの取り分と考えます。
例えば、〇//〇〇であれば、Aが1冊、Bが0冊、Cが2冊となります(実際には、最初に配った1冊がそれぞれ足されます)。
結局〇3個と仕切り(/)2個の配置の仕方を考えればよいから、分け方は、全部で
(5×4)/(2×1) ←組合せですね。
=10通り
あります。
なお、後半の考え方は、最初にノートを配らずに、〇6個の間から2個選ぶと考えることもできますが、0もありの場合となしの場合を統一的に解決するため採用しませんでした。