四天王寺中学校2012年算数第4問①

場合の数 和の法則 積の法則
 9段の階段があり、1歩で1段、2段、または3段上ることができます。
 また、たとえば4段上るのに、1段、3段で上るのと、3段、1段で上るのはちがう上り方とします。階段の下から上るとき、
(ア)5段目までの上り方は何通りありますか。
(イ)5段目をふんで、9段目まで上る上り方は何通りありますか。ただし、一歩につき1段、2段、3段上る上り方をそれぞれ1回は使うものとします。

(ア)を解くだけなら、トリボナッチ数列の問題として簡単に処理できます(慶應義塾中等部2007年算数第6問の解答・解説を参照)が、(イ)を解くことを考えると、トリボナッチ数列を知らないふりをして解いたほうがいいでしょう。
(ア)
1歩で3段、2段、1段の個数がそれぞれ何回あるか考え、次に並べ替えを考えます。
 (A)3、2→3がどこに来るかで2通りあります。
 (B)3、1、1→3がどこに来るかで3通りあります。
 (C)2、2、1→1がどこに来るかで3通りあります。
 (D)2、1、1、1→2がどこに来るかで4通りあります。
 (E)1、1、1、1、1→1通りあります。
したがって、5段目までの上り方は全部で
  2+3+3+4+1
 =13通り
あります。
(イ)
5段目を踏んで9段目まで上るのだから、ちょうど5段上った後4段上る必要があります。
そこで、4段の上り方を考えます。
 (F)3、1(2なし)→3がどこに来るかで2通りあります。
 (G)2、2(1、3なし)→1通りあります。
 (H)2、1、1(3なし)→2がどこに来るかで3通りあります。
 (I)1、1、1、1(2、3なし)→1通りあります。
あとは、(A)~(E)と(F)~(I)の組合せを考えることになりますね。 ←5パターンの(A)~(E)で場合分けするのではなく、4パターンの(F)~(I)で場合分けします。
2なしの(F)と組み合わせられるのは、(A)~(E)のうち2があるものになりますね(他も同様)。
 (F)-(A)、(C)、(D)・・・2×(2+3+4)=18通り
 (G)-(B)・・・1×3=3通り
 (H)-(A)、(B)・・・3×(2+3)=15通り
 (I)-(A)・・・1×2=2通り
したがって、条件を満たす上り方は全部で
  18+3+15+2
 =38通り
あります。

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