西大和学園中学校２０２２年算数第３問（２）
- 平面図形 相似 面積比
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１辺の長さが６cmの正方形ＡＢＣＤがあります。辺ＣＤのちょうど真ん中の点をＥ、辺ＤＡのちょうど真ん中の点をＦとします。辺ＢＥと辺ＣＦが交わる点をＰとします。このとき三角形ＡＦＰの面積は[あ]cm2です。また、三角形ＡＦＰを辺ＡＰを底辺と考えたときの高さは[い]cmです。
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけると、三角形ＰＢＣと三角形ＰＣＥが相似（相似比はＢＣ：ＣＥ＝２：１）で、面積比が（２×２）：（１×１）＝４：１＝④：①であることがすぐにわかりますね。
正方形ＡＢＣＤの半分の面積は（④＋①）×２＝⑩で、これが三角形ＰＢＣの面積と三角形ＰＤＡの面積の和にほかなりません（等積変形により確認できます（筑波大学附属駒場中学校２００３年算数第１問の解答・解説を参照））。
また、高さの等しい三角形の面積比は底辺の長さの比と一致し、ＡＦ：ＦＤ＝１：１だから、三角形ＡＦＰの面積は（⑩－④）×１/（１＋１）＝③となります。
⑩が６×６×１/２＝１８cm2に相当するから、三角形ＡＦＰの面積は１８×③/⑩＝２７/５cm2となります。
辺ＡＢと辺ＣＦを延長し、延長した線が交わった点をＱとします。
三角形ＱＡＦと三角形ＱＢＣのピラミッド相似（相似比はＡＦ：ＢＣ＝１：２）に着目すると、ＱＡ＝ＡＢとなります。
直角三角形ＰＱＢを点Ａを中心に１８０度回転した図形を（頭の中で）付け加えると、長方形ができます。
一般に、長方形の２本の対角線の長さは等しく、互いに他を２等分する（２本の対角線は真ん中の点で交わる）から、ＡＰ＝ＡＢ＝６cmとなります。
あとは、三角形ＡＦＰの面積の逆算をするだけです。
求める高さは２７/５×２/６＝９/５cmとなります。
なお、東海中学校で同じような問題が出されています（東海中学校２０２４年算数第４問）。 その問題の解説では異なる解法を紹介しています。
また、一般に、直角三角形の直角のところの頂点から斜辺（直角の向かいの辺）の真ん中の点を結ぶと、その線の長さは斜辺の長さの半分となります（直角三角形が斜辺を直径とする円に内接するからです）。
この知識を知っていれば、ピラミッド相似を作り出した後ＡＰの長さがすぐに求められます。
