西大和学園中学校２０２４年算数第３問（１）
- 数の性質 桁ばらし
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３８２８や５９９１のように、４桁（けた）のうち２桁の数字が同じで、残りの２桁は相異なる数字でできた「２つかぶりの整数」を考えます。ただし、各位の数字は１から９までとします。
また、相異なる２桁の数字を入れ替（か）える操作を操作Ａとします。たとえば、３８２８に操作Ａをすると２８３８になります。
（ⅰ）
３８２８のように、百の位と一の位が同じ数である「２つかぶりの整数」【ア】を考えます。
【ア】に操作Ａをすると【ア】より小さい数【イ】になり、【ア】と【イ】の差は連続する４つの整数の積で表せる数になりました。【ア】として考えられる最大の数は[あ]です。ただし、連続する４つの整数の積で表せる数とは、５０４０（＝７×８×９×１０と、７から１０までの連続する４つの整数の積になっている）のような数のことです。
（ⅱ）
「２つかぶりの整数」【ウ】を考えます。【ウ】に操作Ａをすると【ウ】より小さい数【エ】になり、【ウ】と【エ】の差は連続する４つの整数の積で表せる数になりました。【ウ】として考えられる最小の数は[い]です。
（ⅱ）だけ出されたら、算数オリンピックやジュニア算数オリンピックの予選レベルの問題かもしれませんね。
（ⅰ）
従来灘中学校でよく出されていた問題です。
【ア】を□〇△〇（□、〇、△は１以上９以下の異なる整数）とします。
□〇△〇が△〇□〇より大きいことから、□は△より大きくなり、その差は
（□－△）×１０００－（□－△）×１０ ←同じ数字の位は考える必要はありませんね。
＝（□－△）×９９０
＝（□－△）×９×１０×１１
となります。
□－△は（例えば２－１＝）１以上（９－１＝）８以下の整数だから、（□－△）×９×１０×１１が連続する４つの整数の積となるのは、□－△＝８のときであり、このとき、□＝９、△＝１となります。
したがって、最も大きい【ア】は９８１８となります。 ←〇を９とできないことに注意しましょう。
（ⅱ）
【ウ】の各位のうちどの２つの位が同じ数になるか考えるだけでも、（４×３）/（２×１）＝６通りあり、しかも、各場合の作業はそれなりの量があるので、場合分けして考えるのは面倒すぎますね。
そこで、（ⅰ）の作業を一般化して考えます。
４桁の整数に現れた同じ数字を〇、異なる２つの数字を□と△（□＞△）とします。
□が△より左の位に現れたものが【ウ】となりますね。
いか、１０を◎個かけあわせた数を１０◎と表す（ただし、◎＝０、１、２、３で、１００＝１とします）。
【ウ】の１０☆の位の数が□、１０★の位の数が△（０≦★＜☆≦３）とします。
【ウ】と【エ】の差は
（□－△）×１０☆－（□－△）×１０★
＝（□－△）×（１０☆－１０★） ←分配法則の逆を利用しました。
＝（□－△）×（１０☆－★－１）×１０★ ←分配法則の逆を利用しました。
□－△、１０★は整数で、１０☆－★－１は９が（☆－★）個並ぶ整数だから、その積は９の倍数となります。
連続する４つの整数の積で最小の９の倍数は３×４×５×６＝３６０となります。 ←９の倍数が含まれない場合、３の倍数が２個必要になりますね。
３６０＝４×９×１０だから、★＝１、☆＝２、□－△＝４とすればいいですね。
結局、【ウ】は千の位と一の位が同じ数で、百の位と十の位が異なる数字となります。
最小の【ウ】は１６２１となります。 ←千の位に１を使ったことにより、差が４のペアとして最小の５と１が使えなくなることに注意しましょう。
なお、（ⅱ）の前半の作業は中学受験生には若干厳しいので、（ⅰ）の場合の計算と以下のような具体例をいくつか考えて【ウ】と【エ】の差は９の倍数となるよねという感じで押し切るのが現実的かもしれませんね。
２３３１と１３３２の差＝２００１－１００２＝９９９
３２３１と３１３２の差＝２０１－１０２＝９９
３３２１と３３１２の差＝２１－１２＝９
２１３３と１２３３の差＝２１００－１２００＝９００
３２１３と３１２３の差＝２１０－１２０＝９０
