大阪教育大学附属天王寺中学校２０１１年算数第１問（１）
- 数の性質 単位分数の和
-
次の□の中にあてはまる整数を入れなさい。
①３/１１＝１/□＋１/□
②４/５＝１/□＋１/□＋１/□
□には同じ数を入れることができると解釈できますね。結果的にはありませんが・・・
①
（解法１）
１１÷３＝３．・・・だから、３/１１に含まれる最も大きい単位分数（分子が１の分数）は１/４です。
３/１１－１/４＝（１２－１１）/４４＝１/４４だから、３/１１＝１/４＋１/４４となります。
（解法２）
１１の約数２個の和で３となるもの、１１×２＝２２の約数２個の和で３×２＝６となるもの、１１×３＝３３の約数２個の和で３×３＝９となるものはなく、１１×４＝４４の約数２個の和で３×４＝１２となるものは１＋１１があるから、３/１１＝（１＋１１）/４４＝１/４４＋１１/４４＝１/４４＋１/４となります。
（解法３）
範囲を絞って解きます。
この問題では、上の２つの解法と比べると面倒なだけですが、一番応用性が高い解法です（高校入試問題・大学入試問題を解く際にも通用します）。
３/１１＝１/（３．・・・）だから、どちらの分数の分母も４以上となります。
また、小さくないほうの分数は、３/１１×１/２＝３/２２＝１/（７．・・・）より大きいから、分母は７以下の整数となり、結局、１/４、１/５、１/６、１/７のいずれかとなります。
あとは調べつくすだけです（以下略）。
②
（解法１）
４/５に含まれる最も大きい単位分数は明らかに１/２ですね。
残り２つの単位分数の和は４/５－１/２＝（８－５）/１０＝３/１０となります。
３/１０＝１/（３．・・・）だから、３/１０に含まれる最も大きい単位分数は１/４となります。
３/１０－１/４＝（６－５）/２０＝１/２０だから、４/５＝１/２＋１/４＋１/２０となります。
（解法２）
５の約数３個の和で４となるものはなく、５×２＝１０の約数３個の和で４×２＝８となるものは１＋２＋５があるから、４/５＝（１＋２＋５）/１０＝１/１０＋２/１０＋５/１０＝１/１０＋１/５＋１/２となります。
（解法３）
分母の下限が２となることは明らかですね。
３つの分数のうち最大のもの（２つある場合もありえます）は、４/５×１/３＝４/１５＝１/（３．・・・）以上だから、分母は３以下の整数となり、結局、１/２か１/３のいずれかとなります。
（あ）３つの分数のうち最大のものが１/２のとき
残り２つの単位分数の和は４/５－１/２＝３/１０となります。
３/１０＝１/（３．・・・）だから、残り２つの単位分数の分母は４以上となります。
また、残り２つの単位分数のうち小さくないほうの分数は、３/１０×１/２＝３/２０＝１/（６．・・・）以上だから、分母は６以下の整数となり、結局、１/４か１/５か１/６となります。
３/１０－１/４＝（６－５）/２０＝１/２０だから、４/５＝１/２＋１/４＋１/２０となります。
３/１０－１/５＝（３－２）/１０＝１/１０だから、４/５＝１/２＋１/５＋１/１０となります。
３/１０－１/６＝（９－５）/３０＝４/３０＝２/１５だから、この場合はありえません。
（い）３つの分数のうち最大のものが１/３のとき
残り２つの単位分数の和は４/５－１/３＝（１２－５）/１５＝７/１５となります。
残り２つの単位分数のうち小さくないほうの分数は、７/１５×１/２＝７/３０＝１/（４．・・・）以上だから、分母は４以下の整数となり、結局、１/３か１/４となります。
７/１５－１/３＝（７－５）/１５＝２/１５だから、この場合はありえません。
７/１５－１/４＝（２８－１５）/６０＝１３/６０だから、この場合はありえません。
したがって、答えは４/５＝１/２＋１/４＋１/２０または４/５＝１/２＋１/５＋１/１０となります。
