須磨学園中学校2019年第1回第2問(5)

数の性質 2進法 変則N進法
 0と3だけを使って表すことができる数を小さい方から順に並べていきます。
  0,3,30,33,300,303,330,333,3000,…
 このとき、100番目の数は[ ]です。

各桁(けた)には0、3の2種類の数字しか現れていないので、2進法の問題ですね。
ただし、0、1の2種類の数字しか現れない普通の2進法とは微妙に違います。
 普通の2進法  0 1
 本問の2進法  0 3
また、0からはじまっていることに注意しましょう。うっかりすると、答えが1ずれてしまいます。
100番目の数というのは、10進数の99ですね。
 2)99
 2)49・・・1↑
 2)24・・・1↑
 2)12・・・0↑
 2) 6・・・0↑
 2) 3・・・0↑
    1・・・1↑
    →→→→→
本問の100番目の数は、普通の2進法では1100011となるから、答えは、1を3に変えた3300033となります。
なお、2進法ぐらいであれば、99=64+32+0+0+0+2+1として、1100011と暗算で求められるようにしておくことが望ましいでしょう。
この問題と逆の問題も解けるようにしておきましょう。
例えば、3033が何番目か問われたら、3033を普通の2進法の数(1011)に直した後、
  1×2×2×2+0×2×2+1×2+1×1
 =11
というように10進法に直し、最後に、0から数えているという特殊性を考慮し、11+1=12番目と答えを求めることになります。

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