灘中学校2021年1日目第3問

場合の数 組合せ
 2021の各位の数の和は2+0+2+1=5です。このように、各位の数の和が5である4桁(けた)の整数は、2021を含(ふく)めて全部で[① ]個あります。そしてそれらの整数の中で2021は小さいほうから数えて[② ]番目です。

合計5個の1(〇)を各位に配置すると考えます。
まず、千の位に〇を1個配置し、残り4個の〇を千の位から一の位までの各位に配置します。 ←例えば、〇(初めに配置したもの)〇//〇/〇〇であれば、2012となります。
〇4個と仕切り3個の配置の仕方を考えればよいから、各位の数の和が5である4桁の整数は、全部で
  (7×6×5)/(3×2×1)
 =35個
あります。
まず、千の位が1の数の個数を考えます。
千の位に〇を1個配置し、残り4個の〇を百の位から一の位までの各位に配置します。
〇4個と仕切り2個の配置の仕方を考えればよいから、千の位が1で各位の数の和が5の数の4桁の整数は、全部で
  (6×5)/(2×1)
 =15個
あります。
各位の数の和が5で千の位が2の数を小さい順に書き出すと、2003、2012、2021となるから、2021は小さいほうから数えて
  15+3
 =18番目
となります。

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