東大寺学園中学校2013年第2問(1)

場合の数 和一定の書き出し
 3けたの整数Nに対し、その各位の数の和をSと表します。たとえば、N=784のとき、S=7+8+4=19となります。N-Sの一の位が5になったとすれば、Nとして考えられる整数は全部で何個ありますか。

Nの百の位の数、十の位の数、一の位の数をそれぞれ、□、△、〇(□は1以上9以下の整数、△と〇は0以上9以下の整数)とすると、S=□+△+〇となります。
□+△は0以上18以下の整数となります。 ←上限チェック!下限チェック!
N-Sの一の位の数が5となることから、□+△は5または15となります。 ←NとSから〇を取り除くと、Nは10の倍数となり、これが□+△+一の位の数が5の数と等しくなるからです。
□と△の組み合わせを書き出すと、下のように9通りあります。
 □ △
 1 4
 2 3
 3 2
 4 1
 5 0
 9 6
 8 7
 7 8
 6 9
そのそれぞれに対して、〇が10通りあるから、Nとして考えられる整数は全部で
  9×10
 =90個
あります。

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