洛南高等学校附属中学校2018年第2問(3)

速さ 旅人算 速さと比
 太郎君と花子さんが、1周[オ]mの池の周りを、それぞれ一定の速さで走ります。2人がスタート地点から同じ向きに同時に出発したところ、太郎君がちょうど2周し終わったとき、花子さんはあと384mでちょうど2周する場所にいました。
 また、2人がスタート地点から反対向きに同時に出発したところ、2人が初めて出会ったとき、太郎君は花子さんより120m多く移動していました。そのまま2人は走り続け、太郎君がちょうど[カ]周し終わったとき、2人は初めてスタート地点で出会いました。

追いつきの条件から、太郎が池を2/4=1/2周する間に、花子が池1/2周より384/4=96m少なく進むことがわかります。
出会いの条件から、太郎が池1/2周より120/2=60m多く進む間に、花子が池1/2周より60m少なく進むことがわかります。
両者の違いを考えると、太郎が60m進む間に花子が96-60=36m進むことがわかり、2人が同一時間に進む距離の比は
  太郎:花子=60:36=5:3
となります。
2人が初めてスタート地点で出会うのは、5-3=2が池の周りの整数倍になるときですが、2が池の周りの長さの1倍のときは条件を満たさず、2が池の周りの長さの2倍のとき条件を満たすから、太郎が5周したときになります。
また、池の周りの長さは
  120×(5+3)/(5-3)
 =480m
となります。

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