甲陽学院中学校２０００年算数１日目第１問（３）
- 数の性質 倍数と余り
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ある旅行団体の全員が船の長いすにすわります。１０人用のいすに１０人または９人ですわると、７つのいすは９人ずつすわることになります。また、９人用のいすに９人または８人ですわると、４つのいすは８人ずつすわることになります。
このとき、考えられる全員の人数を少ない方から２つ求めると[ ]人と[ ]人です。
文章題ですが、実質的には数の性質の問題です。
「１０人用のいすに１０人または９人ですわると、７つのいすは９人ずつすわることになります」という条件から、旅行団体全員の人数は
１０×□＋９×７
＝１０×□＋６３（人）
と表せるから、１０で割ると３余る数で６３以上のものとなります。
また、「７つのいすは９人ずつすわることになります。また、９人用のいすに９人または８人ですわると、４つのいすは８人ずつすわることになります」という条件から、旅行団体全員の人数は
９×○＋８×４
＝９×○＋３２（人）
と表せるから、９で割ると５余る数で３２以上のものとなります。
結局、１０で割ると３余り、９で割ると５余る数（６３以上）を小さい方から２つ求めることになります。
不足も余りも共通でないので、書き出して求めます。
１０で割ると３余る数は一の位の数が３でチェックしやすいので、９で割ると５余る数を書き出します。
５、１４、２３、・・・
＋９ ＋９ ・・・
２３が１０で割ると３余り、９で割ると５余る数のもっとも小さいものですが、６３以上という条件を満たしませんね。
１０で割ると３余る数は１０周期、９で割ると５余る数は９周期で現れるから、１０で割ると３余り、９で割ると５余る数は９０（１０と９の最小公倍数）周期で現れます。
したがって、考えられる旅行団体全員の人数を少ない方から２つ求めると、
２３＋９０
＝１１３人
と
１１３＋９０
＝２０３人
となります。
