西大和学園中学校２０２０年算数第１問（６）
- 場合の数 攪乱順列
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１から５までの番号が１つずつ書かれたカード５枚と、１から５までの番号が１つずつ書かれた箱５つがあります。それぞれの箱にカードを１枚ずつ入れるとき、入れられたカードの番号と同じ番号が書かれた箱がちょうど２つあるような入れ方は[ ]通りあります。
カードの番号と入れた箱の番号が一致しているカードの選び方（組合せ）が
（５×４）/（２×１）
＝１０通り
あり、そのそれぞれに対して、残りのカードの並べ方が
２×１×１ ←わかりにくければ、具体例を考えればいいでしょう（例えば、カードの番号と入れた箱の番号が一致するカードが番号１と２のカードの場合、番号３のカードが４番の箱か５番の箱の２通りあり、残りの番号のカードの入れ方は１通りに定まりますね（条件の対等性から他の例も同様ですね））。
＝２通り
あるから、条件を満たす並べ方は全部で
１０×２
＝２０通り
あります。
（参考）攪乱順列について
１から〇（〇は２以上の整数）までの整数を横一列に並べ替えたとき、すべての△について左から△番目に△が来ないような並べ方の総数（ｎ（〇）と表記します）について考えます。
左から１番目に整数☆（２、３、・・・、〇）が来る場合は次の２つの場合に分類することができます。
（あ）左から☆番目に整数１が来る場合
（い）左から☆番目以外に整数１が来る場合
（あ）の場合
左から１番目と☆番目については並べ方が決まっているので、残りの（〇－２）箇所のところに問題の並べ方をすることになります。
左から１番目にどの整数が来るかで（〇－１）通りあるから、この場合の並べ方の総数は（〇－１）×ｎ（〇ー２）通りあります。
（い）の場合
左から☆番目に整数１が来ないという条件は、左から☆番目に特定の１つの整数が来ないということに過ぎないから、左から１番目以外の（〇－１）箇所のところに問題の並べ方をすることになります。
左から１番目にどの整数が来るかで（〇－１）通りあるから、この場合の並べ方の総数は（〇－１）×ｎ（〇ー１）通りあります。
したがって、問題の並べ方の総数ｎ（〇）は
（〇－１）×ｎ（〇－２）＋（〇－１）×ｎ（〇ー１）
＝（〇－１）×｛ｎ（〇－１）＋ｎ（〇ー２）｝通り
となります。
具体的に計算してみると、ｎ（２）＝１通り、ｎ（３）＝２通りだから、
ｎ（４）＝（４－１）×（２＋１）＝９通り
ｎ（５）＝（５－１）×（９＋２）＝４４通り
ｎ（６）＝（６－１）×（４４＋９）＝２６５通り
となります。
