大阪星光学院中学校2020年第1問(3)

場合の数 組合せ
 4桁の整数のうち、「2020」のように、ちょうど2種類の数字が2個ずつ使われているものは[ ]個あります。ただし、千の位が0のものは4桁の整数には含めません。

千の位が0のものもとりあえず4桁の整数と考え、後でそれを取り除きます。
4桁の整数に使われる2種類の数字の選び方は、
  (10×9)/(2×1) ←0、1、2、・・・、9の10個の数字から2個の数字を選ぶ場合の数(組合せ)ですね。
 =45通り
あり、その並び替え方は、大きい数字が4桁の各位のうちどの2つの位に来るかを考えると、
  (4×3)/(2×1)
 =6通り
あるから、全部で
  45×6
 =270個
あります。
このうち、0を含み、千の位が0のものは、0以外の数字の選び方が9通りあり、そのそれぞれに対して、千の位以外の0がどの位に来るかで3通りあるから、
  9×3
 =27個
あります。
したがって、4桁の整数のうち、ちょうど2種類の数字が2個ずつ使われているものは
  270-27
 =243個
あります。

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