灘中学校2015年1日目第6問

数の性質 循環小数
 1/43を小数で表すと、1/43=0.02325581395348837209302・・・となり、21桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。そして、1/43、2/43、・・・、42/43はどれも、21桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。
 次の[①]、[②]に、1以上42以下の整数を入れなさい。
 [①]/43を小数で表すと、小数第12位が8、小数第13位が3になります。
 [②]/43を小数で表すと、小数第12位が3、小数第13位が9になります。

問題文に与えられた小数部分に83の並びが出るのは、小数第15位と16位ですね。
これを1000倍すると、小数部分は小数第1位から21桁ごとに同じ数字を繰り返す小数になり、小数第12位が8、小数第13位が3になります。
  1000/43
 =23+11/43
となるから、①は11となります。
問題文に与えられた小数部分に39の並びが出るのは、小数第9位と10位ですね。
これを1/1000倍すると、小数部分は小数第4位から21桁ごとに同じ数字を繰り返す小数になり、小数第12位が3、小数第13位が9になります。
繰り返しの部分(023255813953488372093)の最後の3個の数字を小数第1位から第3位の部分に付け加えると、小数部分は小数第1位から21桁ごとに同じ数字を繰り返す小数になり、小数第12位が3、小数第13位が9になります。
  1/43×1/1000+0.093
 =1/43×1/1000+93/1000
 =(1+43×93)/(43×1000)
 =4000/(43×1000)
 =4/43
となるから、②は4となります。
なお、大雑把に考えて答えを出すこともできます。
[①]/43=0.255・・・と1/43=0.023・・・を比べると大体11倍ぐらいだとわかりますし、[②]/43=0.093・・・と1/43=0.023・・・を比べると大体4倍ぐらいだとわかりますね。
(参考)
例えば、0.09595・・・というように、小数第2位から2桁ごとに同じ数字を繰り返す小数を分数に直すとき、次のような考え方がありますが、上の解法ではその考え方を利用しています。
  0.09595・・・
 =0.9595・・・×1/10
 =95/99×1/10
 =19/198
  0.09595・・・
 =0.59595・・・-0.5
 =59/99-1/2
 =19/198

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