西大和学園中学校2012年第1問(4)

規則性 階差数列 等差数列の和
 3、5、9、15、23、33、45、……というように、あるきまりで数が並(なら)んでいます。このとき、左から100番目の数は[ ]となります。

隣同士の差をとると、
 2、4、6、8、・・・
というように、2の倍数が並んでいることがわかります。
数が100個並んでいるとき、間は100-1=99個だから、隣同士の差の最後の数は2×99=198となります。
したがって、左から100番目の数は
  3+(2+4+6+8+・・・198)
 =3+(2+198)×99×1/2 ←等差数列の和の公式を利用しました。2から連続する偶数の和の公式を利用してもよいでしょう。
 =9903
となります。
(参考1)2から連続する偶数の和の公式
 □□ 
 2(2から連続する1個の偶数の和)=1×2
 □□○
 ○○○
 2+4(2から連続する2個の偶数の和)=2×3
 □□○△
 ○○○△
 △△△△
 2+4+6(2から連続する3個の偶数の和)=3×4
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 2+4+6+・・・+2×☆(2から連続する☆個の偶数の和)=☆×(☆+1)
なお、上の各図において、左端の1列を取り除くと、1から連続する奇数の和になります。
(参考2)1から連続する奇数の和の公式
 □ 
 1(1から連続する1個の奇数の和)=1×1
 □○
 ○○
 1+3(1から連続する2個の奇数の和)=2×2
 □○△
 ○○△
 △△△
 1+3+5(1から連続する3個の奇数の和)=3×3
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 1+3+5+・・・+2×☆-1(1から連続する☆個の奇数の和)=☆×☆

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