須磨学園中学校2013年第3回第1問(4)

計算問題 部分分数分解 
 次の□に当てはまる数を答えなさい。
 1/15+1/35+1/63+1/99+1/143=□

分数の足し算は通分して計算するのが基本ですが、この問題で通分するのは面倒ですね。
そこで、部分分数分解を利用して解きます。
一般に、
  1/○-1/△
 =(△-○)/(○×△)
となるから、
  1/(○×△)
 =(1/○-1/△)×1/(△-○)
となります。
  □
 =1/(3×5)+1/(5×7)+1/(7×9)+1/(9×11)+1/(11×13) ←「九九の逆」を利用し、分母の数字が「しりとり」できるようにしました。
 ={2/(3×5)+2/(5×7)+2/(7×9)+2/(9×11)+2/(11×13)}×1/2 ←分子が2のほうが扱いやすいので、いったん全部を2倍して、その後1/2倍しました。
 =(1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+1/11-1/13)×1/2 ←この作業を怠ってはいけません。書かないとしても、頭の中できっちりすることが大切です。実力のない人ほどこういう作業をさぼりがちなので、困ったものです。
 =(1/3-1/13)×1/2
 =(13-3)/39×1/2
 =5/39

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