西大和学園中学校2015年女子第2問(4)

平面図形 面積 三角定規 相似
 図のように、45°をもつ直角三角形2個と30°をもつ直角三角形1個が組み合わされてできた四角形ABCDがあります。また、30°をもつ直角三角形の直角の頂点をEとしたとき、三角形ABEの面積は16cm2でした。このとき、三角形ABDの面積は[ ]cm2となります。
西大和学園女子中等部(西大和学園中学校(女子))2015年算数第2問(4)(問題)の図

三角形ABEの面積が16cm2だから、
  AB×(AB×1/2)×1/2=16
  AB×AB=64=8×8
だから、AB=8cmとなります。
三角形ACEは正三角形の半分の三角定規だから、AE:AC=1:2となります。
直角二等辺三角形ABEとACDは相似(相似比はAE:AD=AE:AC=1:2)だから、ADの長さは8×2=16cmとなります。
したがって、三角形ABDの面積は
  8×16×1/4 ←いわゆる150度問題の三角形の面積公式(150度を挟む2辺の辺の長さの積×1/4)を利用しました。頂点から底辺に垂線を下ろし、正三角形の半分の三角定規の辺の比を利用して高さを求めて解いてもいいでしょう。
 =32cm2
となります。

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