高槻中学校2019年A第1問(5)

規則性 ハッピー数
 いろいろな整数について、その整数の各位の数に次の例のような作業をくり返します。
 [例]
 1番目の数を2019とすると、
 2番目の数は、2×2+0×0+1×1+9×9=86
 3番目の数は、8×8+6×6=100
①1番目の数を145とするとき、10番目の数は何ですか。
②1番目の数を145とするとき、100番目の数は何ですか。
③1番目の数を78とするとき、100番目の数は何ですか。

灘中学校や甲陽学院中学校でも出題されたことがあるハッピー数に関する問題です。
問題文の操作を地道にしていきましょう。 ←周期性の問題では、1周期をしっかり調べつくす必要があります。
①、②
 145
 1×1+4×4+5×5=1+16+25=42
 4×4+2×2=16+4=20
 2×2+0×0=4+0=4
 4×4=16
 1×1+6×6=1+36=37
 3×3+7×7=9+49=58
 8×8+5×5=64+25=89
 8×8+9×9=64+81=145 ←元に戻りましたね。
結局、145、42、20、4、16、37、58、89の8個の数字の繰り返しになります。
  10÷8
 =1・・・2
だから、10番目の数は、2番目の数と等しくなり、42となります。
また、
  100÷8
 =12・・・4
だから、100番目の数は、4番目の数と等しくなり、4となります。

 78  7×7+8×8=49+64=113
 1×1+1×1+3×3=1+1+9=11
 1×1+1×1=1+1=2
 2×2=4 ←①、②のところで出てきた数ですね。
4以降は、4、16、37、58、89、145、42、20の8個の数字の繰り返しになります。
  (100-4)÷8 ←繰り返しに登場しない最初の4個の数を取り除く必要がありますね。
 =12
だから、100番目の数は、繰り返し部分の最後の数と等しくなり、20となります。
なお、例えば、23→2×2+3×3=13→1×1+3×3=10→1×1+0×0=1→1×1=1・・・(以降、1の繰り返し)となる数をハッピー数と呼びます。
ただ、ずっと1になってしまったのでは入試問題としてばかげているので、ずっと1になるものが出ることはまずないでしょう。

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