高槻中学校２０１９年Ａ算数第１問（５）
- 規則性 ハッピー数
-
いろいろな整数について、その整数の各位の数に次の例のような作業をくり返します。
[例]
１番目の数を２０１９とすると、
２番目の数は、２×２＋０×０＋１×１＋９×９＝８６
３番目の数は、８×８＋６×６＝１００
①１番目の数を１４５とするとき、１０番目の数は何ですか。
②１番目の数を１４５とするとき、１００番目の数は何ですか。
③１番目の数を７８とするとき、１００番目の数は何ですか。
灘中学校や甲陽学院中学校でも出題されたことがあるハッピー数に関する問題です。
問題文の操作を地道にしていきましょう。 ←周期性の問題では、１周期をしっかり調べつくす必要があります。
①、②
１４５
１×１＋４×４＋５×５＝１＋１６＋２５＝４２
４×４＋２×２＝１６＋４＝２０
２×２＋０×０＝４＋０＝４
４×４＝１６
１×１＋６×６＝１＋３６＝３７
３×３＋７×７＝９＋４９＝５８
８×８＋５×５＝６４＋２５＝８９
８×８＋９×９＝６４＋８１＝１４５ ←元に戻りましたね。
結局、１４５、４２、２０、４、１６、３７、５８、８９の８個の数字の繰り返しになります。
１０÷８
＝１・・・２
だから、１０番目の数は、２番目の数と等しくなり、４２となります。
また、
１００÷８
＝１２・・・４
だから、１００番目の数は、４番目の数と等しくなり、４となります。
③
７８ ７×７＋８×８＝４９＋６４＝１１３
１×１＋１×１＋３×３＝１＋１＋９＝１１
１×１＋１×１＝１＋１＝２
２×２＝４ ←①、②のところで出てきた数ですね。
４以降は、４、１６、３７、５８、８９、１４５、４２、２０の８個の数字の繰り返しになります。
（１００－４）÷８ ←繰り返しに登場しない最初の４個の数を取り除く必要がありますね。
＝１２
だから、１００番目の数は、繰り返し部分の最後の数と等しくなり、２０となります。
なお、例えば、２３→２×２＋３×３＝１３→１×１＋３×３＝１０→１×１＋０×０＝１→１×１＝１・・・（以降、１の繰り返し）となる数をハッピー数と呼びます。
ただ、ずっと１になってしまったのでは入試問題としてばかげているので、ずっと１になるものが出ることはまずないでしょう。
