大阪星光学院中学校2019年第1問(5)

場合の数 立体の色塗り 円順列 組合せ
 右の図の正六角柱の8つの面を、8色の絵の具のうちの何色かを使って塗(ぬ)ることを考えます。隣(とな)り合う面は異なる色を使い、また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。このとき、8色すべてを使って塗る方法は、[ ]通りあり、8色から異なる3色を選んで塗る方法は[ ]通りあります。
(図は不要なので、省略しています。)

数学の問題をそのまま出しましたという感じの問題です。
(前半)
まず、底面の面の塗り方は
  (8×7)/(2×1) ←上下をひっくり返したものは同じなので、8色から2色選べば、底面の色の塗り方が決まりますね。
 =28通り
あり、そのそれぞれに対して、側面の色の塗り方は
  6×5×4×3×2×1/6 ←6色を並べたとき、回転して同じものが6通りあるので、重複度で割りました(円順列)。なお、側面の1つに特定の色をまず塗り(固定し)、残りの色を塗ると考えて、5×4×3×2×1=120通りとしてもよいでしょう。
 =120通り
あるから、色の塗り方は
  28×120
 =3360通り
あります。
(後半)
使う色の選び方は
  (8×7×6)/(3×2×1)
 =56通り
あります。
側面を塗るためには少なくとも2色必要なので、底面は同じ色を塗る必要があります。
その選び方は3通りあります。
側面は2色の色を交互に塗るしかないので、その塗り方は1通りあります。
したがって、色の塗り方は
  56×3×1
 =168通り
あります。

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