西大和学園中学校2019年第3問(4)

立体図形 回転体の体積
 図1のような底辺の長さが6cm、高さが4cmの二等辺三角形があります。
 図1の二等辺三角形を図2のように組み合わせた図形Fについて考えます。
①図形Fを直線アの周りに1回転させてできる立体の体積は[ ]cm3となります。
②図形Fを直線イの周りに1回転させてできる立体の体積は[ ]cm3となります。
 ただし、円周率は3.14として計算し、円すいの体積は、(底面積)×(高さ)×1/3で求めることができます。
西大和学園中学校2019年第3問(4)(問題)の図

立体の図をかかずに解くことが大切です。

図形を1回転させているので、回転軸の片側に図形を集めます。
西大和学園中学校2019年第3問(4)(解説)の図1
図形は左右対称だから、右半分だけ回転させ、それを2倍すればいいですね。 ←対称性を利用して作業を減らす!
黄色の長方形を回転させた図形は、底面が4cmの円、高さが3cmの円柱になり、水色の直角三角形を回転させた図形は、円柱と底面と高さが等しい円すいになり、2つの図形の体積比は3:1となります。
したがって、求める体積は
  4×4×3.14×3×(3+1)/3×2
 =128×3.14
 =314
 + 62.8
 + 25.12
 =401.92cm3
となります。

一般に、回転体の体積は回転軸方向に平行移動しても体積は変わりません。
そこで、1番上の三角形をピンク色の三角形の部分まで移動します。
この問題の場合、回転軸に対して左右対称なので、回転軸の片側に図形を集めるまでもないですね。
西大和学園中学校2019年第3問(4)(解説)の図2
ピンク色の三角形、黄緑色の三角形、4色の三角形を合わせた三角形を回転させてできる立体は相似な円すいになり、相似比は1:1:2だから、体積比は(1×1×1):(1×1×1):(2×2×2)=1:1:8となります。
結局、求める体積は、ピンク色の三角形を回転させたときにできる円すいの体積の8-1=7倍となるから、
  3×3×3.14×4×1/3×7
 =84×3.14
 =251.2
 + 12.56
 =263.76cm3
となります。

このページの先頭へ