大阪星光学院中学校2016年第1問(3)

平面図形 面積 直角三角形の相似
大阪星光学院中学校2016年三須第1問(3)(問題)の図  右の図のような正方形があります。斜線部分の面積は□cm2です。
(斜線部分は、図のかげをつけた部分になります。)

過去に星光で同じような問題が出されています(2002年第3問)。
大阪星光学院中学校2016年算数第1問(3)(解説)の図 右の図のように、垂線を引きます。 ←相似な直角三角形を作り出すためです。
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけ、辺の比をチェックします。
辺の比は、中:小=10:5=2:1となります。 ←AD:DEからわかります。
AD=①とすると、DB=①×2=②となり、CD=②×2=④となります。
①+④=⑤が10cmに相当するから、DB(②)は10×②/⑤=4cmとなります。
したがって、
  求める面積
 =三角形ACEの面積-三角形ABCの面積  ←「差」で求める(復元)!
 =10×10×1/2-10×4×1/2
 =30cm2
となります。
なお、CBを延長して相似を作り出して解くこともできます。
CBを延長した線と辺ADの交わる点をFとすると、Fは辺ADの真ん中の点となります。
三角形AFBと三角形CABは相似で、相似比がAF:CA=1:2だから、面積比は1×1:2×2=1:4=[1]:[4]となります。
正方形全体の面積は([1]+[4])×5=[20]となり、面積BECの面積は[20]-([4]+[5]×2)=[6]となるから、
  求める面積
 =10×10×[6]/[20] ←「比」で求める!
 =30cm2
となります。

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