プロ家庭教師のPT | 灘中学校2000年算数1日目第8問

灘中学校2000年算数1日目第8問

規則性 等差数列の和 平均 偶奇性
 398+399+400+401+402=2000のように、398から始めて1ずつ大きい数を5個加えると2000になる。これ以外にも□から始めて1ずつ大きな数を奇(き)数個加えて2000にできる。

灘中でよく出題される平均の問題ですね。
真中の数(平均)×個数(奇数個)=2000(総和)になればいいですね。
2000を素因数分解すると、2×2×2×2×5×5×5となるから、個数として考えられるものは1、5、5×5=25、5×5×5=125となります。
1個の場合、数を加えていないので、条件を満たしませんね。
5個の場合は、問題の例になりますね。
25個の場合、
  2000÷25
 =80
だから、80を真中の数にした25個の数の和にできます。
80は
  (25+1)÷2
 =13個目
の数だから、
  80-12
 =68
から始めた25個の数の和にすればいいですね。
理論的には正しくないですが、入試本番では以下を省略してもいいでしょう。
125個の場合、
  2000÷125
 =8
だから、8を真中の数にした125個の数の和になるはずですが、小学生の範囲では不可能です(負の数を使わないとできないからです)。
この問題では問われていませんが、偶数個の場合を考えてみましょう。
両端から1個ずつ、合計2個の数をペアにして考えます。
これらの2個の数の和は一定(最初の数+最後の数)で、奇数になります。 ←最初の数と最後の数の差は、植木算により、個数ー1=奇数となり、2数の和と差の偶奇は一致するからです。
最初の数+最後の数が1、5、25となることが(小学生の範囲では)ないことはすぐにわかりますね。
最初の数+最後の数が125のとき、16ペアあり、整数は16×2=32個あります。
最初の数と最後の数の和が125で、差が32-1=31だから、和差算により、最初の数は(125-31)÷2=47となります。

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