灘中学校２０００年算数１日目第８問
- 規則性 等差数列の和 平均 偶奇性
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３９８＋３９９＋４００＋４０１＋４０２＝２０００のように、３９８から始めて１ずつ大きい数を５個加えると２０００になる。これ以外にも□から始めて１ずつ大きな数を奇（き）数個加えて２０００にできる。
灘中でよく出題される平均の問題ですね。
真中の数（平均）×個数（奇数個）＝２０００（総和）になればいいですね。
２０００を素因数分解すると、２×２×２×２×５×５×５となるから、個数として考えられるものは１、５、５×５＝２５、５×５×５＝１２５となります。
１個の場合、数を加えていないので、条件を満たしませんね。
５個の場合は、問題の例になりますね。
２５個の場合、
２０００÷２５
＝８０
だから、８０を真中の数にした２５個の数の和にできます。
８０は
（２５＋１）÷２
＝１３個目
の数だから、
８０－１２
＝６８
から始めた２５個の数の和にすればいいですね。
理論的には正しくないですが、入試本番では以下を省略してもいいでしょう。
１２５個の場合、
２０００÷１２５
＝８
だから、８を真中の数にした１２５個の数の和になるはずですが、小学生の範囲では不可能です（負の数を使わないとできないからです）。
この問題では問われていませんが、偶数個の場合を考えてみましょう。
両端から１個ずつ、合計２個の数をペアにして考えます。
これらの２個の数の和は一定（最初の数＋最後の数）で、奇数になります。 ←最初の数と最後の数の差は、植木算により、個数ー１＝奇数となり、２数の和と差の偶奇は一致するからです。
最初の数＋最後の数が１、５、２５となることが（小学生の範囲では）ないことはすぐにわかりますね。
最初の数＋最後の数が１２５のとき、１６ペアあり、整数は１６×２＝３２個あります。
最初の数と最後の数の和が１２５で、差が３２－１＝３１だから、和差算により、最初の数は（１２５－３１）÷２＝４７となります。
