灘中学校２００２年算数１日目第２問
- 数の性質 倍数判定法
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６けたの整数１２３ＡＢＣが７でも１１でも１３でも割り切れるとき、下３けたの整数ＡＢＣは□である。
１２３ＡＢＣは
７×１１×１３
＝９１×１１
＝１００１ ←連続する３つの素数の積である７×１１×１３が１００１となることは覚えておくとよいでしょう。なお、連続する３つの素数の積３×５×７＝１０５も有名です。
の倍数ですね。
ところで、
１２３×１００１
＝１２３１２３ ←１２３×１００１の前後の１２２×１００１＝１２２１２２や１２４×１００１＝１２４１２４はだめですね。
だから、ＡＢＣ＝１２３となります。
（参考１）
２桁の整数ＰＰは
Ｐ×１０＋Ｐ×１
＝Ｐ×（１０＋１）
＝Ｐ×１１
だから、１１の倍数になります。 ←わざわざ変形しなくても明らかですね。
４桁の整数ＰＱＰＱは
ＰＱ×１００＋ＰＱ×１
＝ＰＱ×（１００＋１）
＝ＰＱ×１０１
だから、１０１の倍数になります。
６桁の整数ＰＱＲＰＱＲは
ＰＱＲ×１０００＋ＰＱＲ×１
＝ＰＱＲ×（１０００＋１）
＝ＰＱＲ×１００１
だから、１００１の倍数になります。
４桁の整数ＰＱＲＳＰＱＲＳは
ＰＱＲＳ×１００００＋ＰＱＲＳ×１
＝ＰＱＲＳ×（１００００＋１）
＝ＰＱＲＳ×１０００１
だから、１０００１の倍数になります。
（参考２）
１００１の倍数判定法～一の位から３桁の数と残りの桁の数の差が１００１の倍数（０も含みます） ←１００１＝７×１１×１３だから、これは７の倍数の判定法、１１の倍数の判定法、１３の倍数の判定法でもあります。ただし、１１の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、３６６０６５７の場合を考えてみましょう。
３×１００００００＋６６０×１０００＋６５７×１
＝３×（９９９９９９＋１）＋６６０×（１００１－１）＋６５７
＝３×｛１００１×９９９＋１｝＋６６０×（１００１－１）＋６５７
＝３×１００１×９９９＋３×１＋６６０×１００１－６６０×１＋６５７
＝１００１×（３×９９９＋６６０）＋３－６６０＋６５７
だから、３－６６０＋６５７（この計算は小学生の範囲外ですが、３＋６５７－６６０とすれば小学生の範囲で計算できますね）の部分が１００１の倍数（０も含みます）であれば、３６６０６５７も１００１の倍数となります。
この問題の場合、３＋６５７－６６０＝０となるので、３６６０６５７は１００１の倍数となりますね。
次に、１２６７３６６１の場合を考えてみましょう。
１２×１００００００＋６７３×１０００＋６６１×１
＝１２×（９９９９９９＋１）＋６７３×（１００１－１）＋６６１
＝１２×｛１００１×９９９＋１｝＋６７３×（１００１－１）＋６６１
＝１２×１００１×９９９＋１２×１＋６７３×１００１－６７３×１＋６６１
＝１００１×（１２×９９９＋６７３）＋１２－６７３＋６６１
だから、１２－６７３＋６６１の部分が１００１の倍数（０も含みます）であれば、１２６７３６６１も１００１の倍数となります。
この問題の場合、１２－６７３＋６６１（＝１２＋６６１－６７３＝）０となるので、１２６７３６６１は１００１の倍数となりますね。
（参考３）９９９の倍数判定法～一の位から３桁ごとに区切った数の和が９９９の倍数 ←９９９＝３×３×３×３７だから、これは３、９、２７の倍数の判定法、３７の倍数の判定法などでもあります。ただし、３、９の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、１４２８５７の問題の場合で、説明すると次のようになります。
１４２８５７
＝１４２×１０００＋８５７
＝１４２×（９９９＋１）＋８５７ ←９９９を作り出します。９の倍数判定法のときも同様の変形をしたはずですね。
＝１４２×９９９＋１４２＋８５７ ←分配法則を利用しました。
が９９９の倍数となるためには、１４２＋８５７が９９９の倍数となればいいですが、１４２＋８５７が９９９の倍数であれば、１４２８５７も９９９の倍数となります。
この問題の場合、１４２＋８５７＝９９９となるので、１４２８５７は９９９の倍数となりますね。
なお、９９の倍数判定法は、一の位から２桁ごとに区切った数の和が９９の倍数かどうかになり、９９９９の倍数判定法は、一の位から４桁ごとに区切った数の和が９９９９の倍数かどうかになります。
