プロ家庭教師のPT | 洛南高校附属中学校2014年算数第1問(3)

洛南高校附属中学校2014年算数第1問(3)

計算問題 計算の工夫 平均
次の□にあてはまる数を答えなさい。
 (678+789+896+967)÷(123+234+341+412)=□

洛南で何回も出題されているパターンの計算問題で、暗算で答えが出せる問題です。
678+789+896+967の部分ですが、百の位も十の位も一の位も6、7、8、9が1回ずつ登場していますね。
そこで、平均を利用して計算します。平均は、7.5なので、7.5×4×111となります。
同様に、123+234+341+412の部分は、2.5×4×111となります。
したがって、
  □
 =(7.5×4×111)÷(2.5×4×111)
 =7.5÷2.5
 =3
となります。
なお、次のようにすることもできます。
  □
 ={(6+7+8+9)×111}/{(1+2+3+4)×111} ←分母・分子がこのようになることは、筆算を思い浮かべればすぐにわかります。
 =30/10
 =3
(参考問題)
 3、4、5、6、7のうち3個の数を並べてできる3桁の数を全部加えるといくつになりますか。
(解説)
平均を利用して解きます。
できるすべての整数の個数は
  5×4×3 ←順列ですね。
 =60個
です。
できる数の平均は明らかに555ですね。 ←各位の平均が、3、4、5、6、7の平均が5(真ん中の数)になることは明らかですね。
したがって、できるすべての整数の和は
  555×60 ←平均×個数=総和
 =33300
となります。
なお、次のようにすることもできます。
一の位に、3の数字は
  4×3
 =12回
出てきますね。
同様に、一の位に4~7の数字がそれぞれ12回ずつ出てきます。 ←3~7の数字は条件的に同じだからです(条件の対等性)。
十の位、百の位も同様に、3~7の数字がそれぞれ12回ずつ出てきますね。 ←各位は条件的に同じだからです(条件の対等性)。
結局、各位に1~5の数字がそれぞれ12回ずつ出てくるから、できるすべての整数の和は
  (3+4+5+6+7)×12×(100+10+1)
 =300×(100+10+1)
 =33300
となります。

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