東大寺学園中学校1997年第2問(2)

規則性 数列の和 約束記号
 P[2]=1×1+2×2、P[3]=1×1+2×2+3×3、P[4]=1×1+2×2+3×3+4×4、……と約束し、Q[2]=1×4+2×3、Q[3]=1×6+2×5+3×4、Q[4]=1×8+2×7+3×6+4×5、……と約束します。たとえば、P[2]=5、P[3]=14、Q[2]=10、Q[3]=28となります。次の問に答えなさい。
①Q[5]はいくらですか。
②P[50]+Q[50]はいくらですか。

約束記号の問題だから、ルールをしっかり把握(はあく)することが大切です。
Qの規則性がわかりにくければ、次のように縦に並べてみれば、規則性は一目瞭然ですね。 ←縦に並べるとわかりやすくなる規則性はよくあります。
 Q[2]
=1×4
+2×3
 Q[3]
=1×6
+2×5
+3×4
 Q[4]
=1×8
+2×7
+3×6
+4×5

  Q[5]
 =1×10+2×9+3×8+4×7+5×6
 =10+18+24+28+30
 =110
となります。

P[50]とQ[50]をそれぞれ求めた後で足し算しようとしてはいけません。
  P[50]+Q[50]
 =1×1  +2×2  +3×3  +…+49×49 +50×50
 +1×100+2×99 +3×98 +…+49×52 +50×51
   1×101+2×101+3×101+…+49×101+50×101
 =(1+2+3+4+…+49+50)×101 ←同じ数(101)があることに注目して分配法則の逆を利用しました。
 =(1+50)×50×1/2×101 ←等差数列の和の公式を利用しました。
 =128775


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