関西大学第一中学校2006年第6問

規則性 分数
 次のように、分数があるきまりにしたがってならんでいます。
  1/(1×2)、1/(2×3)、1/(3×4)、1/(4×5)、……
(1)はじめから数えて、10番目の分数は何ですか。1/(○×△)の形で答えなさい。
(2)1/272は、はじめから数えて何番目の分数ですか。

並んでいる分数の分子はすべて1ですね。
以下、分母だけで考えます。
分母を順番に縦に並べます。
 1番目 1×2
 2番目 2×3
 3番目 3×4
 4番目 4×5
 ・・・・・・・
 □番目 □×(□+1)
規則性は明らかですね。
(1)
10番目は、1/(10×11)となります。
(2)
連続する2整数の積なので、平方数で見当をつけます。 ←272の約数をペアで書き出して差が1となるものを見つけても解けますが・・・
16×16=256、17×17=289だから、16×17=272とすぐに予想できますね。
実際、16×17=272となっています。
したがって、1/272は、はじめから数えて16番目の分数になります。
(追加設問)1番目から10番目の分数の和を求めなさい。
通分するのは、面倒ですね。
そんなときは、部分分数分解を利用します。 ←通分の逆の作業です。
  1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+・・・+1/(9×10)+1/(10×11)
 =1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+・・・+1/9-1/10+1/10-1/11
 =1-1/11 ←隣同士の分数がうまく消えましたね。
 =10/11

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