ノートルダム女学院中学校2004年B第3問

数の性質 倍数と余りの周期性
 ある町内で、ゴミの日が5日に1回あります。今日は月曜日でゴミの日です。
(1)次に火曜日でゴミの日となるのは、何日後ですか。
(2)次に金曜日でゴミの日となるのは、何日後ですか。


今日から○日後とします。
今日がゴミの日で、ゴミの日が5日に1回あるから、○は5の倍数となります。
(1)
火曜日は今日(月曜日)から1日後で、その後は7日に1回あるので、○は7で割ると1余る数になります。
7で割ると1余る数を書き出すと・・・
  1、8、15、・・・
15は5の倍数だから、15日後となります。
なお、○=7×△+1(△=0、1、2、・・・)が5の倍数(一の位の数が0か5となる数)となるのは、7×△の一の位の数が9か4の場合となります。
このことに注目して解いてもよいでしょう。
(2)
金曜日は今日(月曜日)から4日後で、その後は7日に1回あるので、○は7で割ると4余る数になります。
7で割ると4余る数を書き出すと・・・
  4、11、18、25・・・
25は5の倍数だから、25日後となります。 ←○に3と7をたすと、5でも7でも割り切れる数になるから、○+10=35×☆(☆=1、2、3、・・・)となります。このことを利用して解いてもよいでしょう。もちろん、(1)同様、一の位の数に注目して解くこともできます。
仮に、水曜日でゴミの日を求めるのであれば、次のようになります。
水曜日は今日(月曜日)から2日後で、その後は7日に1回あるので、○は7で割ると2余る数になります。
○+5は5でも7でも割り切れる数になるから、○+5=35×☆(☆=1、2、3、・・・)となります。 ←いわゆる不足共通の場合だから、不足分をたすと割り切れるようになります。
最小の○は、☆=1のときなので、○=30となり、答えは30日後となります。

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