西大和学園中学校(女子中等部)2015年第1問(6)

数の性質 素因数分解 平方数 分配法則とその逆
 2015は、2015=[ア]×[イ]×[ウ]と3つの異なる1より大きい整数の積で表すことができます。ただし小さい順に[ア]、[イ]、[ウ]となっています。2015から「[イ]の倍数」をひいた数が、8×8のように等しい整数の積になるような「[イ]の倍数」は[エ]通りあり、このときのひいた数の最大は[オ]、最小は[カ]となります。


2015を素因数分解します。
 5)2015 ←一の位が5だから、5の倍数ですね。
13) 403
     31
2015=5×13×31だから、ア=5、イ=13、ウ=31となります。 ←2015年の受験生なら、覚えているべきことです。
2015から13×○(○は整数)をひいたとします。
  2015-13×○
 =13×155-13×○
 =13×(155-○) ←分配法則の逆を利用しました。
が平方数になるということだから、155-○(155以下の整数ですね)が13×平方数になればいいですね。
  155÷13
 =11.・・・ ←上限チェック!
だから、13×1×1、13×2×2、13×3×3の3組だけになり、エは3となります。
ひいた数が最大となるのは、155-○が最小となるとき、つまり、13×1×1=13となるときだから、オは
  13×(155-13)
 =2015-169 ←分配法則を利用しました。
 =1846
となり、ひいた数が最小となるのは、155-○が最大となるとき、つまり、13×3×3=117となるときだから、カは
  13×(155-117)
 =13×38
 =494
となります。
(参考)
 2016=2×2×2×2×2×3×3×7
 2017(素数)
 2018=2×1009
 2019=3×673
 2020=2×2×5×101
 2021=43×47
 2022=2×3×337
 2023=7×17×17
 2024=2×2×2×11×23
 2025=3×3×3×3×5×5

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