京都女子中学校2008年B第2問(1)

数の性質 十進法
 2けたの整数があります。この数は、十の位の数と一の位の数の和の7倍に等しくなります。また、十の位の数と一の位の数を入れかえた数はもとの数より18だけ小さくなります。このとき、もとの整数は、□です。


十の位の数を○、一の位の数を△とします(○も△も1以上9以下の整数)。
 ○×10+△×1=(○+△)×7 ←例えば、十進数の32というのは、3×10+2×1のことだから、十の位の数が○、一の位の数が△の数は左辺のようになります。
 ○×10+△×1=○×7+△×7 ←分配法則を利用しました。
 ○×3=△×6 ←両辺から共通するものを取り除きました。
 ○=△×2・・・① ←両辺の1/3を考えました。
 ○×10+△-(△×10+○)=18
 ○×9-△×9=18
 (○-△)×9=18 ←(参考)を参照しましょう。
 ○-△=2・・・②
①、②より
 △×2-△=2
 △=2
これと①より、○=4となります。
したがって、もとの整数は42となります。
(参考)
一般に、2桁の整数の十の位と一の位を入れ替えた数ともとの整数の差は9の倍数(入れ替えた数の差の9倍)となり、3桁の整数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた数ともとの整数の差は99の倍数(入れ替えた数の差の99倍)となります。
2桁の整数の場合は、上の解答内で証明できているので、3桁の整数の場合を証明します。
3桁の整数の百の位の数を○、十の位の数を□、一の位の数を△とします(○も△も1以上9以下の整数、□は0以上9以下の整数)。
もとの整数が小さくない場合を考えれば十分なので、もとの整数が小さくない場合を考えます。
  ○×100+□×10+△×1-(△×100+□×10+○×1)
 =○×99-△×99
 =(○-△)×99 ←分配法則の逆を利用しました。

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