清風南海中学校2008年B第2問(3)

平面図形 曲線がらみの面積 線対称
清風南海中学校2008年B第2問(3)(問題)の図  図は、正方形と、半径の長さが14cmのおうぎ形を組み合わせたものです。斜線部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は22/7として計算しなさい。
(一部表記を変更しています。斜線部分というのは、かげをつけた部分になります。)


線対称性に注目して、左下の図のように4等分し、下側のものを上側のものとくっつけ、右側のものを左側のものとくっつけます。
清風南海中学校2008年B第2問(3)(解説)の図
結局、右上の図のかげをつけた部分の面積の2倍が求める面積になります。
ピンク色の部分の面積(花びらの面積)は、正方形(一辺の長さが14cm)の面積の3/7倍となるから、かげをつけた部分の面積は、正方形(一辺の長さが14cm)の面積の1-3/7=4/7倍となります。 ←(参考)を参照しましょう。
したがって、求める面積は
  14×14×3/7×2
 =168cm2
となります。
(参考)花びらの面積について
塾によっては、葉っぱの面積とかイモの面積とかレンズ形の面積とか呼ばれるものです。
0.57という数字だけを覚えていても、円周率が3.14以外の数字の場合、使い物にならないので、公式の成り立ちをしっかりマスターしておきましょう。
一辺の長さが□cmの正方形の場合で考えます。
花びらの面積は
  半径□cmの1/4円の面積+半径□cmの1/4円の面積-一辺の長さが□cm正方形の面積 ←ヴェン図をイメージすればよいでしょう。
 =半径□cmの半円の面積-一辺の長さが□cm正方形の面積
 =□×□×円周率×1/2-□×□
 =□×□×(円周率/2-1) ←分配法則の逆を利用しました。
 =正方形の面積×(円周率の半分から1を引いたもの)
円周率が3.14であれば、正方形の面積の3.14/2-1=0.57倍、円周率が22/7であれば、正方形の面積の22/7×1/2-1=4/7倍となります。

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