洛南高校附属中学校２０１６年算数第１問（１）
- 計算問題 計算の工夫 約数の和・個数
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次の計算をしなさい。
１＋１/２＋１/４＋１/７＋１/１４＋１/２８
２８の約数の逆数の和を求めればよいことがわかれば、次のように数秒間で解けます。 ←この程度の問題であれば、普通に通分しても解けますが・・・
２８＝２×２×７だから、
（１＋２＋４）×（１＋７）/２８ ←通分すると、分母が２８、分子が２８の約数の和となるから、２８の約数の和/２８を計算すればいいですね。
＝２
となります。
なお、この問題の解法がしっかりマスターできていれば、次のような問題が簡単に解けます。
（問題）ある整数の約数を全部足すと５６となり、その整数の約数の逆数を全部足すと２となります。その整数を求めなさい。
（略解）２＝５６/２８より、求める整数は２８となります。
（参考１）
一般に、整数☆が
（○ア個の積）×（□イ個の積）×（△ウ個の積）×・・・
と素因数分解されるとき、☆の約数の個数は
（ア＋１）×（イ＋１）×（ウ＋１）×・・・
となります。
例えば、２８（２×２×７）の約数は、（２＋１）×（１＋１）＝６個となります。
このことを樹形図（のようなもの）と表を用いて確認してみます。
（樹形図）
２の使用個数 ３の使用個数
０個 ０個
１個
１個 ０個
１個
２個 ０個
１個
２の使用個数は、０～２個の（２＋１）通りあり、そのそれぞれに対して、７の使用個数が０～１個の（１＋１）通りあるから、２８の約数は（２＋１）×（１＋１）＝６個となります。
（表）
約数は、（２＋１）×（１＋１）＝６個となります。 ←長方形の個数を求めるイメージです。素因数が３種類の場合は、直方体の個数を求めるイメージになります（例えば、３６０（２×２×２×３×３×５）の約数は、（３＋１）×（２＋１）×（１＋１）＝２４個となります）。
（参考２）上の表の考え方を利用すると、約数の和を計算することができます。
約数の和は、（１＋２＋４）×（１＋７）＝５６となります。 ←長方形の面積を求めるイメージです。素因数が３種類の場合は、直方体の体積を求めるイメージになります（例えば、３６０（２×２×２×３×３×５）の約数の和は、（１＋２＋４＋８）×（１＋３＋９）×（１＋５）＝１１７０となります）。
なお、約数の和の公式は分配法則とその逆を利用して確認することもできます。
例えば、２８の約数の和で確認すると、
１＋２＋４＋７＋１４＋２８
＝１＋２＋４＋７×１＋７×２＋７×４ ←九九の逆を利用しました。
＝（１＋２＋４）＋７×（１＋２＋４） ←分配法則の逆を利用しました。
＝（１＋２＋４）×（１＋７） ←分配法則の逆を利用しました。
となります。
