大阪教育大学附属池田中学校2002年第5問

規則性 等差数列 等差数列の和 平均
 カレンダーがあります。それぞれの月の1日を表す数を1、2日を表す数を2、・・・15日を表す数を15、・・・とします。
(1)2月は1日が金曜日です。この月の日曜日になっている日を表す数を全部たすと、いくらになりますか。
(2)ある月の水曜日になっている日を表す数を全部足すと、80になりました。この月の1日は何日ですか。


特定の曜日の日数が公差7の等差数列になっていることがポイントです。
(1)
2月1日が金曜日だから、この月の最初の日曜日は、2日後の2月3日になります。
以後、7日ごとに月曜日になるので、求める日数の和は
  3+(3+7)+(3+7×2)+(3+7×3)
 =(3+3+7×3)×2 ←両端から組み合わせて計算します。
 =54
となります。
(2)
ある月の水曜日は4回もしくは5回あります。
(あ)水曜日が4回の場合
(1)での和の求め方を利用して解きます。
この月の2回目と3回目の水曜日の日数の和は80÷2=40となりますが、差が7となることに適しません。 ←2数の和と差の偶奇は一致するからです。
したがって、この場合はありえません。
(い)水曜日が5回の場合
この月の3回目(真ん中)の水曜日は
  80÷5 ←真ん中(平均)=総和÷個数(日数)
 =16日
となり、1回目の水曜日は
  16-7×2
 =2日
となります。
したがって、この月の2月1日は火曜日となります。

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