帝塚山学院中学校2004年第5問

規則性 等差数列の和 約束記号 平均
 ある数と、その数より2大きい和人の和を《 》で表すことにします。
 例えば、《8》=8+10=18となります。
(1)《37》を計算すると、いくらになりますか。
(2)1から50までの数の和は1275になることを使って、《1》+《2》+《3》+……+《50》を計算すると、いくらになりますか。


ある数と、その数より2大きい数の和を求めるためには、ある数とその数より2大きい数の平均(真ん中の数)、つまりある数より1大きい数を2倍すればいいですね。
(1)
  《37》
 =38×2
 =76
となります。
(2)
  《1》+《2》+《3》+……+《50》
 =(2+3+4+・・・+50+51)×2
 =(1+2+3+4+・・・+50+50)×2 ←51を1と50に分けました。
 =(1+2+3+4+…+50)×2+50×2 ←与えられた和を利用するため、分配法則を利用しました。
 =1275×2+100
 =2650
となります。
1から50までの和が与えられていない場合、次のように、等差数列の和の公式((最初の数+最後の数)×個数×1/2)を利用して求めればよいでしょう。
  (2+51)×50×1/2×2
 =53×50
 =50×50+3×50 ←53=50+3として分配法則を利用しました。
 =2500+150
 =2650
(参考)等差数列の和について
一般に、△個の等差数列の和は
  □+・・・+○
=(□+○)×△×1/2
となります。
  (□+○)×△×1/2
 =(□+○)/2×△
となるので、等差数列の和の公式は、総和=平均×個数という式に他ならないことがわかりますね。

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