西大和学園中学校(女子)2014年第1問(8)

数の性質 倍数と余りの周期性
 1、2、3、4、5、・・・というように、1から順番に整数が並(なら)んでいます。
 3で割ると2余り、7の倍数ではない数のうち、小さいほうから5番目の数は[①]となります。1から順に並んでいる整数の中から、連続する一部分を取り出して、この数の集まりを「組A」としました。この「組A」の中に、3で割ると2余り、7の倍数ではない数がちょうど30個入っていました。このとき「組A」に含まれている数の個数は、最小で[②]個、最大で[③]個となります。

3で割ると2余る数は3周期、7の倍数でない数は7周期で同じ繰り返しになるので、3で割ると2余り、7の倍数ではない数は21(3と7の最小公倍数)周期で同じ繰り返しになります。
そこで、1から21個までを調べます。
条件を満たすものを○、満たさないものを×で表すと、次のようになります。
 ×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、×、×、×、○、×、×、○、×
①の答えは17となります。
組Aに含まれる数の個数を最小にするためには、×が連続している部分をなるべく少なくすればよいから、17(+21の倍数)を先頭として考えればよいですね。
並べ替えると、次のようになります。
 ○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、×、×、×
1セット21個のうち○は6個になります。
  30÷6
 =5
だから、5セット目の6個目の○までとなり、②の答えは
  21×5-5
 =100
となります。
組Aに含まれる数の個数を最大にするためには、×が連続している部分をなるべく多くすればよいから、12(+21の倍数)を先頭として考えればよいですね。
並べ替えると、次のようになります。
 ×、×、×、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○、×、×、○
5セット目の6個目の○(5セット目の最後の数)の次に○が出る直前まで、つまり、6セット目の5個目までだから、③の答えは
  21×5+5
 =110
となります。
なお、3で割ると2余り、7の倍数ではない数は次のようにして求めることもできます。
3で割ると2余る数から、7の倍数を取り除けばいいですね。
3で割ると2まり、7で割り切れる数は、7をたすと3でも7でも割り切れる数、つまり21の倍数になります。
結局、3で割ると2余る数のうち、21の倍数-7となるものを取り除けばいいことになります(以下略)。

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