灘中学校2002年1日目第2問

数の性質 倍数判定法
 6けたの整数123ABCが7でも11でも13でも割り切れるとき、下3けたの整数ABCは□である。

123ABCは
  7×11×13
 =91×11
 =1001 ←連続する3つの素数の積である7×11×13が1001となることは覚えておくとよいでしょう。なお、連続する3つの素数の積3×5×7=105も有名です。
の倍数ですね。
ところで、
  123×1001
 =123123 ←123×1001の前後の122×1001=122122や124×1001=124124はだめですね。
だから、ABC=123となります。
(参考1)
2桁の整数PPは
  P×10+P×1
 =P×(10+1)
 =P×11
だから、11の倍数になります。 ←わざわざ変形しなくても明らかですね。
4桁の整数PQPQは
  PQ×100+PQ×1
 =PQ×(100+1)
 =PQ×101
だから、101の倍数になります。
6桁の整数PQRPQRは
  PQR×1000+PQR×1
 =PQR×(1000+1)
 =PQR×1001
だから、1001の倍数になります。
4桁の整数PQRSPQRSは
  PQRS×10000+PQRS×1
 =PQRS×(10000+1)
 =PQRS×10001
だから、10001の倍数になります。
(参考2)
1001の倍数判定法~一の位から3桁の数と残りの桁の数の差が1001の倍数(0も含みます) ←1001=7×11×13だから、これは7の倍数の判定法、11の倍数の判定法、13の倍数の判定法でもあります。ただし、11の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、3660657の場合を考えてみましょう。
  3×1000000+660×1000+657×1
 =3×(999999+1)+660×(1001-1)+657
 =3×{1001×999+1}+660×(1001-1)+657
 =3×1001×999+3×1+660×1001-660×1+657
 =1001×(3×999+660)+3-660+657
だから、3-660+657(この計算は小学生の範囲外ですが、3+657-660とすれば小学生の範囲で計算できますね)の部分が1001の倍数(0も含みます)であれば、3660657も1001の倍数となります。
この問題の場合、3+657-660=0となるので、3660657は1001の倍数となりますね。
次に、12673661の場合を考えてみましょう。
  12×1000000+673×1000+661×1
 =12×(999999+1)+673×(1001-1)+661
 =12×{1001×999+1}+673×(1001-1)+661
 =12×1001×999+12×1+673×1001-673×1+661
 =1001×(12×999+673)+12-673+661
だから、12-673+661の部分が1001の倍数(0も含みます)であれば、12673661も1001の倍数となります。
この問題の場合、12-673+661(=12+661-673=)0となるので、12673661は1001の倍数となりますね。
(参考3)999の倍数判定法~一の位から3桁ごとに区切った数の和が999の倍数 ←999=3×3×3×37だから、これは3、9、27の倍数の判定法、37の倍数の判定法などでもあります。ただし、3、9の倍数の判定法は、通常別の方法を使います。
例えば、142857の問題の場合で、説明すると次のようになります。
  142857
 =142×1000+857
 =142×(999+1)+857 ←999を作り出します。9の倍数判定法のときも同様の変形をしたはずですね。
 =142×999+142+857 ←分配法則を利用しました。
が999の倍数となるためには、142+857が999の倍数となればいいですが、142+857が999の倍数であれば、142857も999の倍数となります。
この問題の場合、142+857=999となるので、142857は999の倍数となりますね。
なお、99の倍数判定法は、一の位から2桁ごとに区切った数の和が99の倍数かどうかになり、9999の倍数判定法は、一の位から4桁ごとに区切った数の和が9999の倍数かどうかになります。

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