洛南高校附属中学校2011年第1問(4)

計算問題 計算の工夫 部分分数分解
次の□にあてはまる数を答えなさい。
 1/10+1/40+1/88+1/154=□

分数の足し算・引き算は通分して計算するのが基本ですが、この問題の場合、通分して計算するのは面倒そうですね。
そんなときは部分分数分解を利用します。
実際は暗算で答えが求まりますが、丁寧に式変形すると次のようになります。
  □
 =1/(2×5)+1/(5×8)+1/(8×11)+1/(11×14) ←分母がしりとりになるように変形すればいいですね。
 =(1/2-1/5)×1/3+(1/5-1/8)×1/3+(1/8-1/11)×1/3+(1/11-1/14)×1/3 ←1/2-1/5=(5-2)/(2×5)などというふうに元に戻るかどうか確認すれば、1/3倍する必要があることがすぐにわかりますね。実際は、分母の積の2数の差が3なので、分子が3となることはすぐにわかりますが・・・
 =(1/2-1/5+1/5-1/8+1/8-1/11+111-1/14)×1/3 ←分配法則の逆を利用しました。
 =(1/2-1/14)×1/3
 =(7-1)/14×1/3
 =1/7
となります。
(参考)部分分数分解について
一般に、 1/{○×(○+□)}={1/○-1/(○+□)}×1/□となります。
このことは、右辺を通分して計算すればすぐに確認できます。
部分分数分解をせずに、分母にある2数の積のうち隣同士のものを消して、最初と最後だけが残るというような説明をする塾がありますが、最悪なことなので、きちんと(頭の中で)部分分数分解をして解きましょう。

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