ノートルダム女学院中学校2010年前期II第4問

文章題(特殊算) 消去算 割合のつるかめ算数 天秤算
 ある中学の今年の中1と中2の生徒の合計は308人です。これは昨年に比べて中1は5%減り、中2は4%増えて中1と中2全体では2人減ったことになります。昨年の中1の人数を求めなさい。

全体の人数の減少割合を求めた後、割合のつるかめ算や天秤算として処理することもできますが、まず、消去算で解いてみます。
昨年の中1の人数を<20>、中2の人数を[25]とすると、 ←中1はあとで5/100(95/100)倍、中2はあとで4/100(104/100)倍するので、無用な分数(小数)を避けるため、このようにおきました。すぐに思いつかないのであれば、100とおけばよいでしょう。
  <20>×95/100+[25]×104/100=308
  <20>×5/100-[25]×4/100=2 ←増減に注目して式を作りましたが、昨年の人数に注目して<20>+[25]=308+2とすることもできます。
となります。
整理すると、
  <19>+[26]=308
  <1>-[1]=2
となります。
<1>-[1]=2を26倍したもの(<26>-[26]=52)と<19>+[26]=308の和を考えると、
  <45>=360
したがって、昨年の中1の人数(<20>)は
  360×<20>/<45>
 =160人
となります。
以下は、余裕のある人だけ読んでみましょう。
天秤算として解いてみると次のようになります。
95/100と104/100を昨年の中1の人数と中2の人数の比で混ぜ合わせると全体は308/310になったと考えます。
腕の長さの比は
  (全体-中1):(中2-全体)
 =(308/310-95/100):(104/100-308/310) ←約分しないほうが計算が楽になります。
 =1350/31000:1440/31000
 =15:16
となるから、人数の比は
  中1:中2
 =16:15
 =(16):(15)
となります。
  (16)+(15)
 =(31)
が310人に相当するから、昨年の中1の人数は
  310×(16)/(31)
 =160人
となります。
計算がやや面倒ですね。
割合のつるかめ算として解くと次のようになります。
中1も中2も4%増えたと考えて、中1について4%増と5%減の交換を考えます。
昨年の中1の人数は
  (310×104/100-308)÷(104/100-95/100)
 =(310×104/100-308)×100/9
 =(310×104-308×100)/9 ←×100だけ分配法則を利用しました。
 =(32240-30800)/9
 =1440/9
 =160人
となります。

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